Matura a IQ

Czy matura jest testem IQ?

Jak na tak poważny egzamin, w Polsce jest jedna osoba na poważnie badająca to zagadnienie: Artur Pokropek. Literatura dotycząca matury i egzaminów jest pełna bezwartościowego pustosłowia i dosłownie każda, prócz jednej, praca na temat związku matury z IQ zawiera go jako współautora.

Poniżej spróbujemy zbadać ten związek i stworzyć najlepszy możliwy kalkulator, który bierze wyniki matury i zwraca implikowane przez nie IQ.

W 2013 roku opublikowano następujące korelacje wyników matury z testem IQ^{1Artur Pokropek, „Trafność testów egzaminacyjnych”, w: M. Karwowski (red.), Ścieżki rozwoju edukacyjnego młodzieży – szkoły pogimnazjalne, Warszawa: Wydawnictwo IFiS PAN, 2013, tabela 13.} :

Fajnie. Musimy jednak pamiętać, że korelacje zmierzono na nieidealnej próbie:

1. ludzi, którzy i tak podchodzą do matury;
2. wyłącznie licealistów.

Powoduje to, że powyższe liczby są mniejsze od prawdziwych, zwłaszcza dla polskiego, który przy pełnej próbie zyskuje najwięcej. Operując bezpośrednio na nich, popełnilibyśmy błąd ograniczenia zakresuang.: ograniczając się do podzbioru zdolnych ludzi, zobaczymy słabszą korelację wyników matury z inteligencją. Tak samo, badając wyłącznie ludzi mających ponad dwa metry wzrostu, moglibyśmy błędnie stwierdzić, że wzrost nie daje przewagi w koszykówce.

Potwierdzenie tej tezy znajdujemy, badając korelacje dawnego testu gimnazjalnego z IQ^{2R. Dolata, A. Hawrot, G. Humenny, A. Jasińska, M. Koniewski, P. Majkut, T. Żółtak, Trafność metody edukacyjnej wartości dodanej dla gimnazjów, Warszawa: IBE, 2013.} :

Te dane, w przeciwieństwie do maturalnych, zebrano na prawie pełnej kohorcie młodzieży w odpowiednim wieku. Co ważne, dzieci te są młodsze od maturzystów. Z wiekiem zwykle rośnie odziedziczalność zdolności poznawczych, co nazywa się Efektem Wilsona^{3Thomas J. Bouchard Jr., „The Wilson Effect: The Increase in Heritability of IQ With Age”, Twin Research and Human Genetics 16(5), 2013.} . Analogiczny wzrost odziedziczalności wyników testów szkolnych między 10. a 14. rokiem życia widać w norweskich danych populacyjnych^{4Nikolai H. Eftedal i in., „Beyond additive genetic effects: Explaining family resemblance in school performance across millions of pairs of Norwegian relatives”, PNAS 122(25), e2419627122, 2025. Zob. także omówienie Emila Kirkegaarda.} . Nie oznacza to automatycznie, że korelacja wyniku egzaminu z IQ musi rosnąć z wiekiem, dlatego różnicy między wynikami gimnazjalnymi i maturalnymi nie przypisujemy samemu Efektowi Wilsona. Widzimy jedynie, że matematyka zmienia się niewiele, natomiast związek polskiego z IQ jest wyższy w szerszej próbie.

Plan

Rozkład jazdy jest następujący:

1. Musimy podbić oryginalne korelacje ze względu na ograniczenie próby.
2. Wynik egzaminu, wyrażony w jednostkach standardowych odchylenia standardowego, mnożymy przez faktyczną korelację matury z inteligencją, aby dostać estymację IQ na podstawie jednego egzaminu.
3. Estymacje z poszczególnych matur łączymy w jeden wynik.

Krok 1: poszerzenie próby

Żeby skorygować korelację o ograniczoną próbę, musimy najpierw ustalić, jak silnie i w jaki sposób ją ograniczono. Mamy szczęście: związek IQ z wyborem liceum, technikum lub zawodówki oraz z samym faktem podchodzenia do matury został zmierzony^{5M. Smulczyk, R. Dolata, A. Pokropek, „Selekcja na progu szkoły ponadgimnazjalnej: merytokracja czy statusowy determinizm?”, Kwartalnik Pedagogiczny 64(4/254), 216–236, 2019. Tabela 2, s. 229–230: standaryzowany całkowity efekt IQ na wybór ścieżki wynosi β = 0,338 dla porównania wszystkich LO z technikami i ZSZ (P3) oraz β = 0,507 dla porównania szkół maturalnych — LO i techników — z ZSZ (P4). Wartości te informują dolną część przyjętego zakresu siły selekcji, ale nie są bezpośrednio utożsamiane z parametrem ρ. Nie wykorzystujemy oddzielnie współczynników efektów bezpośrednich ani sformułowanego przez autorów wniosku o „niemerytokratyczności” selekcji.} . Dzięki temu jesteśmy w stanie określić siłę selekcji.

Badanie podaje także siłę selekcji względem IQ przy kontrolowaniu „statusu socjoekonomicznego” dziecka. Umyślnie odrzucamy tę kontrolę, chcąc uniknąć sofizmatu socjologa^{6BostonTea84, „Czemu socjologia jest upośledzona? Cztery powody”.}  : kontrolowanie statusu socjoekonomicznego, który jest silnie związany z IQ, zaniża korelację badanego zjawiska z inteligencją.

Korzystamy z dwóch osobnych sił selekcji, bo są tu dwie różne bramki: jedna decyduje, czy uczeń w ogóle podchodzi do matury (liceum lub technikum zamiast zawodówki), druga - węższa - określa licealną próbę, w której zmierzono wyjściowe korelacje. Badanie pokazuje znaczny wpływ IQ na wybór ścieżki (efekty rzędu 0,34 i 0,51), ale współczynniki te nie są bezpośrednio parametrami ρ i nie wyznaczają ich wzajemnej kolejności. Osobnym założeniem modelu jest, że licealna próba walidacyjna została wyselekcjonowana ostrzej niż cała populacja maturzystów. Nie używamy pojedynczych sił selekcji, lecz przedziałów, po których kalkulator liczy wynik w całości, i stąd bierze się część niepewności w końcowym oszacowaniu^{7Nie używamy pojedynczych wartości, lecz przedziałów. Siłę selekcji do dobrego liceum przyjmujemy w widełkach około 0,74–0,88 (wartość środkowa 0,80), a bramkę „czy w ogóle matura” jako jej ułamek, około 85–97% tej siły — zawsze niższy, bo liceum sortuje ostrzej niż samo podejście do matury. Kalkulator liczy wynik dla całego tego przedziału, a nie jednej wartości, i różnica między scenariuszami wchodzi do końcowego przedziału niepewności.} .

Kogo brakuje wśród maturzystów?

Do skorygowania korelacji potrzebujemy jeszcze jednej rzeczy: jaka część rocznika w ogóle podchodzi do matury? „Lepszy od X% maturzystów” i „lepszy od X% ludzi w danej kohorcie” to dwie różne rzeczy.

Zbadanie tego prowadzi nas do zaskakującego odkrycia: do matury podchodzi mniej więcej tylko dwie trzecie kohorty. Brakująca jedna trzecia to głównie absolwenci zawodówek, ale nadal - sądzimy, że większość osób, gdyby miała zgadywać, podałaby liczbę rzędu 10%, nie 30%.

Kluczowym zadaniem jest estymacja tego, kogo brakuje wśród podchodzących do matury - czyli o ile słabsza jest ta nieobecna jedna trzecia i, co ważniejsze, jak bardzo pokrywa się zdolnościami z tymi, którzy do matury podchodzą.

Wyobraźmy sobie dwie skrajności. Gdyby o podchodzeniu do matury decydowała wyłącznie inteligencja, brakująca jedna trzecia byłaby dokładnie najsłabszą jedną trzecią rocznika. Mierząc korelację tylko wśród maturzystów, odcinalibyśmy cały dolny ogon zdolności - korekta w górę musiałaby być ogromna. Druga skrajność: gdyby o zawodówce decydowały wyłącznie rzeczy niezwiązane z inteligencją (dom, miejsce zamieszkania, moda, przypadek), to wśród niematurzystów byłoby tyle samo osób zdolnych co wśród maturzystów, grupy pokrywałyby się idealnie, a korekta byłaby zerowa.

Prawda leży pośrodku i nie musimy jej zgadywać - została zmierzona. Badanie selekcji na progu szkoły średniej wprost szacuje, jak mocno inteligencja pcha ucznia do liceum zamiast technikum czy zawodówki. Odpowiedź: pcha dość wyraźnie. Sporo osób średnich, a nawet zdolnych, trafiało do zawodówki z powodów niezwiązanych z inteligencją. Innymi słowy, cięcie jest rozmyte: niematurzyści są średnio słabsi od maturzystów, ale rozkłady zdolności obu grup solidnie na siebie zachodzą. Liceum trwało trzy lata, technikum cztery, więc każdą ścieżkę odnosimy do właściwej jej grupy wiekowej, a nie wszystkie do jednego rocznika. Liczymy też względem osób mieszkających w Polsce, więc emigracja nie zawyża wyniku. Tak liczone uczestnictwo (realnie 63–82% zależnie od rocznika) daje się niezależnie odtworzyć: dla 2023 roku nasze zsumowane dane CKE i przepływ maturalny GUS zgadzają się co do jednej dziesiątej punktu procentowego^{8Główny Urząd Statystyczny i Urząd Statystyczny w Gdańsku, Oświata i wychowanie w roku szkolnym 2023/2024, 2024, s. 24 wersji angielskiej. GUS podaje 254,6 tys. tegorocznych absolwentów przystępujących w maju 2023 roku do wszystkich obowiązkowych egzaminów pisemnych. Nasz roczny ekwiwalent uczestnictwa 73,1% łączy liczebności CKE według ścieżki z populacją osób w odpowiednim wieku z GUS BDL.} .

Pamiętamy także o dwóch pomniejszych rzeczach:

1. Test macierzy Ravena, którym mierzy się IQ, nie jest idealnym miernikiem inteligencji. Z jednej strony nie mierzy idealnie inteligencji, co zaniża związek matury z IQ. Z drugiej matematyka dzieli z macierzami Ravena odrobinę czysto przestrzennego rozumowania ponad inteligencję ogólną, co ten związek zawyża. Uwzględniamy oba efekty. Przyjmujemy jawnie, że trafność Ravena względem g wynosi 0,80; jest to założenie modelowe, nie liczba zmierzona w polskiej próbie^{9Emil Kirkegaard, „Which test has the highest g-loading?”, 2023; Gilles E. Gignac, „Raven's is not a pure measure of general intelligence”, Intelligence 52, 71–79, 2015. Gignac stwierdza około 50% wariancji Ravena wspólnej z g, około 10% z ortogonalnym czynnikiem płynnym i około 25% rzetelnej wariancji specyficznej.} . Odejmowana w kalkulatorze kowariancja matematyka–Raven 0,12 jest konserwatywnym założeniem dla wspólnej wariancji specyficznej, a nie estymatą z tych danych. Bez niej implikowana trafność matematyki przekraczałaby 1.
2. Matura, jak każdy test, jest obciążona błędem pomiaru. Wynik bierze się głównie z umiejętności ucznia, lecz także, i nie da się od tego uciec nawet po likwidacji zadań ABCD, ze szczęścia.

Krok 2: wynik egzaminu → IQ

Mamy korelacje. CKE publikuje rozkład wyników każdego egzaminu. Bierzemy wynik, wyrażamy go w centylach („wynik lepszy od X% zdających”), zamieniamy na odchylenia standardowe od średniej, a na koniec przesuwamy z pozycji „lepszy od X% maturzystów” na „lepszy od X% wszystkich ludzi w danym wieku”^{10CKE, Wstępna informacja o wynikach egzaminu maturalnego, maj 2016 — skale centylowe, 2016. Udział zdających wyliczono z liczebności CKE i stanów ludności GUS BDL, tabela P1341, zmienne 89, 90 i 75961.} .

Teraz sedno: wynik mnożymy przez korelację danego egzaminu z inteligencją. Po powyższych korektach jest to około 0,86 dla matematyki i 0,61 dla polskiego. Dostajemy estymację IQ na podstawie jednego wyniku.

W przykładzie przyjmujemy średnie IQ w Polsce równe 98,4^{11Sebastian Jensen, „The Most Accurate National IQs Possible”, Technotheoria.} .

No i super, mamy wynik. Dwie kwestie:

1. Wynik nie jest superpewny. Dostajemy środek przedziału. Matura nie mierzy idealnie IQ, a jej wynik jest obarczony błędem pomiaru, dlatego w tym jednoprzedmiotowym przykładzie prezentujemy 80-procentowy przedział: 112,6–132,2.
2. Ten krok przeprowadza także regresję do średniej^{12JayMan, „Regression to the Mean”, 2015.} . Skrajne wyniki są mniej pewne i silniej obarczone czynnikami losowymi od wyników wokół średniej, więc tutaj temperujemy wpływ tych czynników.

Wynik w formie przedziału to jedyny uczciwy sposób pokazania, ile faktycznej wiedzy o IQ ucznia możemy wyciągnąć z egzaminu.

Krok 2½: sufit matematyki podstawowej

Wróćmy na chwilę do konwersji wyników na centyle. Matematyka podstawowa ma problem widoczny na pierwszy rzut oka:

Sufit egzaminu jest tak niski, że w roczniku 2015 około 1,6% zdających dostało komplet punktów, a wśród najlepszych 5% rozrzut wyników wynosi mniej niż punkt. Psuje to krok drugi: centyl przypisany 100% punktów nie oznacza „najlepszy ze wszystkich”, tylko „gdzieś w najlepszych 1,6%”. Ludziom, którym zabrakło jednego lub dwóch punktów do maksimum, też trudno przypisać jednoznaczną pozycję. Konstrukcja egzaminu nie pozwala stwierdzić z dużą pewnością, czy zadecydował przypadek, czy umiejętności^{13Przemysław Biecek, SmarterPoland, pakiet R, wersja 1.8.1, CRAN, 2023, DOI 10.32614/CRAN.package.SmarterPoland; zbiór maturaExam, dane indywidualne wtórne pochodzące z bazy IBE ZPD.} .

Próbujemy ten problem załatać. Matura rozszerzona z matematyki jest trudniejsza i znacznie lepiej różnicuje zdających. Jeśli ktoś ją zdawał, możemy użyć wyniku, aby określić jego pozycję w grupie, której egzamin podstawowy nie umie uszeregować.

Rozszerzenie to drugi, częściowo redundantny pomiar tej samej umiejętności, trudniejszy i z wyższym sufitem. Precyzuje wynik matematyki, zwłaszcza wśród najlepszych. PP i PR są dwiema skorelowanymi obserwacjami, które łączymy płynnie: im wyższy, a więc mniej różnicujący wynik podstawy, tym mocniej estymacja opiera się na rozszerzeniu. Przyjęte r = 0,75 nie jest bezpośrednim pomiarem na sparowanych wynikach uczniów, lecz założeniem informowanym korelacjami średnich szkolnych CIE opisanymi niżej. Kalkulator sprawdza także zakres 0,60–0,85.

Pojawia się słuszna wątpliwość: rozszerzenie, w przeciwieństwie do egzaminów podstawowych, zdaje silnie wyselekcjonowana mniejszość. Czy nie zatruwa to wyniku tak samo jak ograniczenie próby z początku artykułu?

Nie, bo nie używamy rozszerzenia jako samodzielnego wyniku w skali całej populacji. Gdybyśmy wzięli surowy centyl PR i potraktowali go jako oddzielny egzamin, popełnilibyśmy błąd selekcji. Tutaj kotwicę populacyjną, czyli odpowiedź na pytanie „gdzie znajdujesz się w całej populacji?”, niesie głównie podstawa, którą zdają prawie wszyscy. Rozszerzenie wchodzi jako poprawka warunkowa: dostarcza informacji ponad to, co już wiemy z podstawy. Dwie osoby z identycznym wynikiem podstawy, lecz różnym rozszerzeniem, dostaną różne estymacje. Ktoś bez rozszerzenia dostanie szerszy przedział.

Krok 3: łączenie wyników

Dwa egzaminy są lepsze niż jeden, ale trzeba je umiejętnie połączyć. Nie można po prostu wziąć średniej. Wyniki matur, zgodnie z teorią ogólnego czynnika inteligencji, pokrywają się: ktoś dobry z matematyki jest raczej lepszy z polskiego niż średnia^{14Assess.com, „The Positive Manifold”.} .

Faktyczna korelacja między wynikami matematyki i polskiego wynosi w nowej formule około 0,47. W danych maturaExam^{15Przemysław Biecek, SmarterPoland, pakiet R, wersja 1.8.1, CRAN, 2023, DOI 10.32614/CRAN.package.SmarterPoland; zbiór maturaExam, dane indywidualne wtórne pochodzące z bazy IBE ZPD.}  dla mieszanego rocznika 2015 było to 0,495, natomiast zaokrąglone odchylenie standardowe różnicy wyników w próbie z 2018 roku implikuje korelację około 0,46. W starej formule korelacja była stabilna w pobliżu 0,54 w latach 2010–2014^{16Przemysław Biecek, SmarterPoland, zbiór maturaExam; I. Sadowski, A. Zawistowska, „The Net Effect of Ability Tilt in Gendered STEM-Related Choices”, Intelligence 80, art. 101439, 2020, tabela 1. Korelacja około 0,46 jest implikowana przez zaokrąglone odchylenia standardowe, a nie raportowana wprost.} .

Ważymy więc każdy wynik według tego, ile nowej informacji wnosi. Matematyka mierzy inteligencję znacznie lepiej niż polski, 0,86 wobec 0,61, więc znaczy istotnie więcej. „Sprzeczne” wyniki z PP i PR z matematyki mogą istotnie poszerzyć przedział estymacji.

Ograniczenia

Brakuje bieżących, sparowanych danych indywidualnych dla Formuły 2023. Polska nauka woli zajmować się bezproduktywnym pustosłowiem dotyczącym „inteligencji emocjonalnej” albo opisami pojedynczych przypadków uczniów, zamiast na bieżąco publikować wartościowe dane. Przyjmujemy 0,47 dla Formuły 2015 i prowizorycznie przenosimy tę wartość na Formułę 2023.

Czy to słuszne? Sprawdziliśmy najważniejszą rzecz, którą mogliśmy: czy wewnętrzna struktura i relacje między egzaminami pozostają zachowane w czasie. Użyliśmy publicznych danych o wynikach szkół. Korelacje są raczej stałe i nie wygląda na to, żeby zaszła zasadnicza zmiana. Korelacja wyników szkolnych między polskim a matematyką utrzymuje się na poziomie 0,80–0,81, ilorazy czynników ogólnych są praktycznie stałe dla matematyki (0,996–0,999) i lekko rosnące dla polskiego (około 1,124–1,148). Są to nasze obliczenia na oficjalnych eksportach mapy wyników CIE^{17Oficjalne eksporty mapy wyników CIE: 2021, 2022, 2023, Formuła 2015, 2024, Formuła 2015, 2023, Formuła 2023, 2024, Formuła 2023, 2025, 2026.} .

Korelacje między szkołami nie mierzą wprost związku egzaminu z inteligencją pojedynczego ucznia. Argumentują jedynie przeciw jakiemuś oczywistemu załamaniu struktury. Nie znajdujemy nic alarmującego, ale nie zastępuje to faktycznego zmierzenia korelacji każdego egzaminu z inteligencją.

Język angielski

Rozważamy tylko egzaminy podstawowe z matematyki i polskiego, bo z jakiegoś absurdalnego powodu nikt nigdy nie skorelował wyniku matury podstawowej z angielskiego z inteligencją, a przynajmniej nie udało nam się tego ustalić. Kalkulator nie może pracować na danych, które nie istnieją. Uwzględnienie angielskiego wymagałoby machania rękami w stopniu, z którym nie czujemy się komfortowo. Jeśli któryś z czytelników posiada dane pozwalające załatać tę dziurę, proszę o kontakt na X.

IQ potrzebne do zdania

Składając wszystko w całość, możemy odpowiedzieć na pytanie:

Jakie IQ wiąże się z 80-procentowym prawdopodobieństwem zdania podstawy z polskiego i matematyki?

Są to modelowane progi grupowe, nie minimalne IQ potrzebne konkretnej osobie do zdania. Wynik 102,5 znaczy: przy tym poziomie latentnej zdolności model przypisuje kandydatowi 80% prawdopodobieństwa przekroczenia obu progów w 2015 roku.

Średnie IQ zdających

Możemy także policzyć modelowe średnie IQ ludzi, którzy otrzymali co najmniej 30% z obu egzaminów:

Krzywe wynik-IQ

Można wybrać egzamin i rok, by zobaczyć wykres wynik-IQ:

Kalkulator